Series funcionales: Series de potencias

Definicion

Una serie funcional de potencias es la que puede escribirse de la forma:

$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infin}a_n(x-x_0)^n$

Siendo $\Set{a_n}_{n\in\N}\medspace$ una sucesion de numeros reales y $\thinspace x_0\in\R\thinspace$.

Observamos que en $x=x_0\medspace$ $\textcolor{lightgreen}{converge\medspace siempre}$..

Teorema

Sea $\medspace\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infin}a_n(x-x_0)^n\quad\land\quad R=sup\thinspace\set{r\in\R\ge 0: la\medspace serie\medspace converge\medspace\forall x\in\R\medspace /|x-x_0|<r}$

$R\thinspace$ puede ser infinito y se llama radio de convergencia.

1. $\medspace$ Si $\thinspace$ $x\in\R\medspace /\medspace|x-x_0|<R\Longrightarrow\medspace$ la serie converge absolutamente.
2. $\medspace$ Si $\thinspace$ $x\in\R\medspace /\medspace|x-x_0|>R\Longrightarrow\medspace$ la serie diverge.
3. $\medspace$ Si $\thinspace$ $x\in\R\medspace /\medspace|x-x_0|=R\Longrightarrow\medspace$ no sabemos que pasa con la serie.

• Si solo converge absolutamente en $\medspace x=x_0\iff R=0$
• Si converge absolutamente $\medspace\forall x\in\R\iff R=+\infin$

• Si la serie converge absolutamente $\Longrightarrow$ la serie converge
• Si la serie diverge $\Longrightarrow$ la serie no converge absolutamente

Teorema (Calculo del radio)

Sea $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infin}a_n(x-x_0)^n$, el radio se puede calcular como:

1. $R = \begin{cases} 0 &\text{si } \lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \infin \\ \infin &\text{si } \lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = 0 \\ \frac{1}{L} &\text{si } \lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = L \end{cases}$

2. $R = \begin{cases} 0 &\text{si } \lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}\sqrt[n]{|a_n|} = \infin \\ \infin &\text{si } \lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}\sqrt[n]{|a_n|} = 0 \\ \frac{1}{L} &\text{si } \lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}\sqrt[n]{|a_n|} = L \end{cases}$