Análisis Matemático II - Series de potencias

Tue, 19 Aug 2025 00:00:00 +0000

Series funcionales: Series de potencias

Definicion

Una serie funcional de potencias es la que puede escribirse de la forma:

$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infin}a_n(x-x_0)^n$

Siendo $\Set{a_n}_{n\in\N}\medspace$ una sucesion de numeros reales y $\thinspace x_0\in\R\thinspace$.

Observamos que en $x=x_0\medspace$ $\textcolor{lightgreen}{converge\medspace siempre}$..

Teorema

Sea $\medspace\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infin}a_n(x-x_0)^n\quad\land\quad R=sup\thinspace\set{r\in\R\ge 0: la\medspace serie\medspace converge\medspace\forall x\in\R\medspace /|x-x_0|<r}$

$R\thinspace$ puede ser infinito y se llama radio de convergencia.

$\medspace$ Si $\thinspace$ $x\in\R\medspace /\medspace|x-x_0|<R\Longrightarrow\medspace$ la serie converge absolutamente.
$\medspace$ Si $\thinspace$ $x\in\R\medspace /\medspace|x-x_0|>R\Longrightarrow\medspace$ la serie diverge.
$\medspace$ Si $\thinspace$ $x\in\R\medspace /\medspace|x-x_0|=R\Longrightarrow\medspace$ no sabemos que pasa con la serie.

Si solo converge absolutamente en $\medspace x=x_0\iff R=0$

Si converge absolutamente $\medspace\forall x\in\R\iff R=+\infin$

Si la serie converge absolutamente $\Longrightarrow$ la serie converge

Si la serie diverge $\Longrightarrow$ la serie no converge absolutamente

Teorema (Calculo del radio)

Sea $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infin}a_n(x-x_0)^n$, el radio se puede calcular como:

$R = \begin{cases} 0 &\text{si } \lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \infin \\ \infin &\text{si } \lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = 0 \\ \frac{1}{L} &\text{si } \lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = L \end{cases}$
$R = \begin{cases} 0 &\text{si } \lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}\sqrt[n]{|a_n|} = \infin \\ \infin &\text{si } \lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}\sqrt[n]{|a_n|} = 0 \\ \frac{1}{L} &\text{si } \lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}\sqrt[n]{|a_n|} = L \end{cases}$

Análisis Matemático II - Sucesiones

Wed, 13 Aug 2025 00:00:00 +0000

Definicion (Sucesiones)

Una sucesion de elementos en $\Alpha$ es una funcion $F \negthinspace : \N\to\R\quad (\Alpha\in\R)$.

$\Set{a_n}_{n\in\N}\medspace$ siendo $\medspace a_n = F(n)$

$\colorbox{grey}{ ($F$ no es una funcion continua) }$

Definicion (Limite de una sucesion)

$\lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}a_n = L \quad si \quad \colorbox{grey}{ $\forall\varepsilon > 0 \quad \exist\thinspace n_0\in\N \thinspace / \thinspace |a_n - L|<\varepsilon\quad si\quad n \ge n_0$ }$

En este caso diremos que $\Set{a_n}_{n\in\N}$ converge a $L.\thinspace$ En cualquier otro caso, diremos que diverge.

$\lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}a_n = +\infin \quad si \quad \colorbox{grey}{ $\forall\thinspace n>0\quad\exist\thinspace n_0\in\N\thinspace/\thinspace a_n > n\quad si\quad n\ge n_0$ }$
$\lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}a_n = -\infin \quad si \quad \colorbox{grey}{ $\forall\thinspace n>0\quad\exist\thinspace n_0\in\N\thinspace/\thinspace a_n < -n\quad si\quad n\ge n_0$ }$
$\lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}a_n = \infin \quad si\quad\lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}|a_n| = +\infin$

Definicion (Monotonia)

Sea $\Set{a_n}_{n\in\N}\medspace$ una sucesion, diremos que es creciente si $\medspace a_n\le a_{n+1}$.
Si $\medspace a_n\ge a_{n+1}$, diremos que es decreciente.
En cualquiera de los dos casos diremos que es monotona.

Definicion (Sucesion acotada)

Sea $\Set{a_n}_{n\in\N}\medspace$ una sucesion, diremos que esta acotada inferiormente si $\thinspace\colorbox{grey}{ $\exist\thinspace k\in\R\thinspace/\thinspace k<a_n\quad,\thinspace \forall\thinspace n\in\N$ }$
Diremos que esta acotada superiormente si $\thinspace\colorbox{grey}{ $\exist\thinspace k\in\R\thinspace/\thinspace a_n<k\quad,\thinspace \forall\thinspace n\in\N$ }$
Diremos que esta acotada si $\thinspace\colorbox{grey}{ $\exist\thinspace k\in\R\thinspace/\thinspace |a_n|<k\quad,\thinspace \forall\thinspace n\in\N$ }$

Teorema

Sea $\Set{a_n}_{n\in\N}\medspace$ una sucesion convergente $\Longrightarrow$ es acotada.

Teorema

Si $\Set{a_n}_{n\in\N}\medspace$ es monotona y acotada $\Longrightarrow$ la sucesion $\thinspace\textcolor{lightgreen}{converge}$.

Observaciones

$\thinspace$ Sea $\thinspace F\negthinspace :I\sub\R\to\R\thinspace/\lim\limits_{x\medspace\to \scriptsize + \infin}F(x)=L\quad\land\quad a_n=F(n)\quad n\in\N\quad\Longrightarrow\quad\thinspace\colorbox{grey}{ $\lim\limits_{n\medspace\to \scriptsize + \infin}a_n=L$ }$

A esto se lo llama $\thinspace\textcolor{lightblue}{paso\medspace a\medspace variable\medspace real}$.

$\thinspace$ Sea $\Set{a_n}_{n\in\N}\medspace$ acotada $\thinspace\land$ $\Set{b_n}_{n\in\N}\medspace/\thinspace b_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}0\quad\Longrightarrow\quad\thinspace\colorbox{grey}{ $a_n\thinspace .\thinspace b_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}0$ }$

A esto se lo llama $\thinspace\textcolor{lightblue}{cero\medspace por\medspace acotada}$.

$\quad a_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}a\quad\Longrightarrow\quad |a_n|\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}|a|$
$\quad a_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}0\quad\xLeftrightarrow \quad\quad |a_n|\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}0$
$\thinspace$ Sean $\Set{a_n}_{n\in\N}\medspace\land\medspace\Set{b_n}_{n\in\N}\thinspace/\thinspace a_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}a\medspace\land\medspace b_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}b\medspace\medspace\land\medspace\alpha,\thinspace\beta\in\R$
- $\alpha\thinspace .\thinspace a_n + \beta\thinspace .\thinspace b_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}\alpha\thinspace .\thinspace a+\beta\thinspace .\thinspace b$
- $a_n\thinspace .\thinspace b_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}a\thinspace .\thinspace b$
- Si $b\ne 0\thinspace,\quad\frac{a_n}{b_n}\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}\frac{a}{b}$

$\textcolor{lightblue}{Linealidad}$.

Criterios de convergencia

Teorema

Si $\quad a_n\le b_n\quad\forall\thinspace n\ge n_0\quad (n_0\in\N)\quad\land\quad a_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}+\infin$

$\Longrightarrow b_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}+\infin$

Teorema (Sandwich)

Sean $\Set{a_n}_{n\in\N}\medspace$, $\medspace\Set{b_n}_{n\in\N}\medspace$ y $\medspace\Set{c_n}_{n\in\N}\thinspace/\medspace b_n\le a_n\le c_n\quad\forall\thinspace n\ge n_0\quad (n_0\in\N)$

Si $\quad b_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}L\medspace$ y $\medspace c_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}L$

$\Longrightarrow \colorbox{grey}{ $a_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}L$ }$

Teorema (Criterio de Cauchy)

Si $\Set{a_n}_{n\in\N}\medspace/\medspace a_n>0\quad\land\quad\sqrt[n]{a_n}\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}L$

Si $\medspace L<1\thinspace\Longrightarrow a_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}0$
Si $\medspace L>1\thinspace\Longrightarrow a_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}+\infin$
Si $\medspace L=1\thinspace$ el criterio no informa.

Teorema (Criterio de D’Alembert)

Si $\Set{a_n}_{n\in\N}\medspace/\medspace a_n>0\quad\land\quad\frac{a_{n+1}}{a_n}\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}L$

Si $\medspace L<1\thinspace\Longrightarrow a_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}0$
Si $\medspace L>1\thinspace\Longrightarrow a_n\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}+\infin$
Si $\medspace L=1\thinspace$ el criterio no informa.

Teorema (Criterio vinculante)

Si $\medspace a_n>0\quad\land\quad\frac{a_{n+1}}{a_n}\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}L$

$\Longrightarrow \colorbox{grey}{ $\sqrt[n]{a_n}\xrightarrow[n\medspace\to\scriptsize +\infin]{}L$ } \quad(L\in\R\quad o\quad L=+\infin)$

Subsucesiones

Definiciones

Sea $\Set{a_n}_{n\in\N}\medspace/\medspace F:\N\to\R\thinspace,\quad F(n)=a_n\quad\land\quad$ Sea $\medspace G:\N\to\N\medspace$ estrictamente creciente

$\Longrightarrow$

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Definicion

Teorema

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